是的，当公积金贷款利率下调后，月供不会自动调整。例如，假设某市民在2023年申请了一笔50万元的公积金贷款，贷款期限为15年，当时的贷款年利率为3.5%，每月还款额大约为3749元。如果到了2024年，央行将公积金贷款基准利率下调至3.25%，该市民的月供并不会自动降低，仍需按照原合同约定的利率支付月供。

根据《住房公积金管理条例》和各城市的实施细则，公积金贷款利率由中国人民银行制定并发布，各城市住房公积金管理中心负责具体实施。一旦利率调整，借款人必须主动联系贷款银行，才能重新计算月供。如果借款人选择不重新计算月供，那么贷款将仍然按照原有利率执行。若借款人希望享受新的利率水平，可以与银行协商变更合同条款。

以北京为例，2023年10月24日，中国人民银行决定自2023年10月25日起，下调首套个人住房公积金贷款利率0.15个百分点，5年以下（含5年）和5年以上利率分别调整为2.6%和3.1%。假设一位在北京工作的职工在2023年11月申请了一笔100万元、期限20年的公积金贷款，当时贷款利率为3.25%，则每月还款额约为5825元。如果2024年1月央行再次下调公积金贷款利率至3.1%，则该职工的月供不会自动减少，仍需按照3.25%的利率支付月供。

但需要注意的是，如果借款人与银行协商一致，并签订新的贷款合同，则可以在新的合同中约定按新利率计算月供。例如，如果借款人与银行协商后同意从2024年2月开始按照3.1%的新利率计算月供，那么从2024年2月起，该职工的月供将减少至约5699元。

部分城市还允许借款人申请“利率调整”或“提前还款”，以减轻负担。以深圳为例，借款人可向贷款银行提出申请，在新的贷款利率生效后，按新利率重新计算月供。借款人还需注意，调整贷款利率可能涉及一定的手续费或其他费用，具体费用标准由各银行自行规定。

当公积金贷款利率下调时，月供不会自动调整。借款人需要主动与银行沟通，才能享受新的利率优惠。在实际操作中，借款人应根据自身经济状况和银行的具体政策，灵活选择是否调整贷款利率或提前还款等方式来降低还款压力。